费马大定理的一般情况的特殊情况的一种充分性

标题好吓人，但确实是……

来源

本题疑似从一道北大强基签到题改编为了初中自招题。后我稍微做了推广。

求证：对于，有无穷组解的充分条件是。

引理1：

方程有正整数解的充要条件是。

显然，，故此方程系数不可约。

因此由贝祖定理，此方程有整数解的充要条件是。

而易证将同时加上，仍然成立。因此，显然，存在正整数解是存在整数解的充要条件。

我们将引理1变形，记，显然。且，，

则，均可构造，。最终等式两边均变为。

再拓展

很显然，妄图证明必要性或者之类的纯纯做梦。因为是费马大定理的一般情况。。。显然不是高中生能触碰的。